Циркуль и линейка
Геометрия · 7 класс

Задачи на построение циркулем и линейкой

Разберём, что такое геометрическое построение, освоим базовые приёмы и поучимся решать задачи разных типов — с пошаговыми анимациями и тренажёром.

Начать с введения Сразу к тренажёру
Введение

Что такое построение циркулем и линейкой?

Это особый класс геометрических задач, где разрешено использовать только два инструмента — и каждый из них умеет ровно одно.

Линейка

Через любые две точки можно провести единственную прямую. На линейке нет делений — длины ею не измеряют.

Циркуль

Можно провести окружность с центром в любой точке и радиусом, равным расстоянию между двумя выбранными точками.

Точки пересечения

Можно отметить любую точку, в которой две построенные линии (прямые или окружности) пересекаются.

Правила игры

  • Линейка только проводит прямые — ничего не измеряет.
  • Циркуль переносит расстояние и проводит окружности.
  • Решить задачу — значит описать конечную последовательность таких шагов, которая всегда даёт нужный объект.
  • В конце обычно проводят анализ (как искать решение) и доказательство (что построение действительно даёт нужное).
Раздел 1

Базовые построения

С этих пяти задач начинается вся тема. Они входят в каждое следующее построение как «кирпичики». Нажимай «Следующий шаг» и смотри, как появляется построение.

1

Перенести отрезок на луч

Дано: отрезок AB и луч с началом C.
Построить: на луче точку D так, чтобы CD = AB.

Идея. Циркуль умеет «запоминать» расстояние. Захватываем им длину AB и переносим её в новую точку C.

1Чертим отрезок AB и отмечаем его концы.
2Чертим луч с началом в точке C.
3Иглу циркуля ставим в A, грифель — в B. Радиус равен AB.
4Не меняя раствора, переносим иглу в C и проводим дугу.
5Точка пересечения дуги и луча — это D. CD = AB.
2

Разделить отрезок пополам

Дано: отрезок AB.
Построить: точку M — середину отрезка.

Идея. Если две окружности одного радиуса с центрами A и B пересекаются, то их точки пересечения одинаково удалены от A и B. Прямая через них — серединный перпендикуляр.

1Дан отрезок AB.
2Строим окружность с центром A радиуса больше половины AB.
3Строим такую же окружность с центром B.
4Отмечаем точки P и Q пересечения окружностей.
5Прямая PQ — серединный перпендикуляр.
6Точка M пересечения с AB — середина отрезка.
3

Построить биссектрису угла

Дано: угол с вершиной O.
Построить: луч, который делит угол пополам.

Идея. Биссектриса — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Чтобы его задать, достаточно одной такой точки.

1Дан угол с вершиной O.
2Проводим дугу с центром в O, она пересекает обе стороны угла в точках P и Q.
3Из точек P и Q одинаковым радиусом проводим дуги, которые пересекаются в точке T.
4Луч OT — биссектриса.
4

Перпендикуляр через точку на прямой

Дано: прямая и точка M, лежащая на ней.
Построить: прямую, перпендикулярную данной и проходящую через M.

Идея. Откладываем по обе стороны от M равные отрезки. Получаем «отрезок» с серединой в M — а серединный перпендикуляр и есть искомая прямая.

1Дана прямая и точка M на ней.
2Дугой с центром в M отмечаем равноудалённые точки P и Q на прямой.
3Строим окружности равного радиуса с центрами P и Q.
4Они пересекаются в точках C и D — прямая CD ⟂ исходной.
5

Перпендикуляр из точки вне прямой

Дано: прямая и точка M, не лежащая на ней.
Построить: прямую через M, перпендикулярную данной.

Идея. Делаем два прокола одной окружностью прямой — это симметричные точки. Через M и серединный перпендикуляр их отрезка проходит искомая прямая.

1Дана прямая и точка M вне её.
2Окружностью с центром M, пересекающей прямую, отмечаем точки P и Q.
3Строим равные окружности с центрами P и Q.
4Они пересекаются в точке N. Прямая MN — перпендикуляр.
Раздел 2

Построение углов

Любой угол можно перенести на новое место — а некоторые красивые углы (60°, 90°, 30°, 45°, 120°) получаются «бесплатно», без транспортира.

6

Угол 60° (равносторонний треугольник)

Дано: луч с началом O.
Построить: на луче угол величиной 60°.

Почему так? Если три точки попарно равноудалены — получается равносторонний треугольник, а его углы как раз по 60°.

1Дан луч с началом в O.
2Проводим дугу с центром в O произвольного радиуса. Она пересекает луч в точке A.
3Тем же радиусом проводим дугу с центром в A.
4Точка пересечения дуг — точка B. Угол AOB = 60°.

Бонус Биссектриса этого угла даст 30°. Если построить угол 60° дважды подряд, получится 120°.

7

Угол 90° (прямой угол)

Дано: луч с началом O.
Построить: прямой угол при вершине O.

Идея. Это перпендикуляр через точку на прямой — мы уже умеем. Откладываем по обе стороны от O равные отрезки и строим серединный перпендикуляр.

1Дан луч с началом в O.
2Дугой с центром в O откладываем точки P и Q по обе стороны.
3Из P и Q — равные дуги одного радиуса, они пересекутся в точке T.
4Луч OT перпендикулярен лучу — угол прямой.

Бонус Биссектриса прямого угла даёт угол 45°.

8

Угол 45° (биссектриса прямого)

Дано: луч с началом O.
Построить: угол 45°.

Идея. 45° = 90° / 2. Сначала строим прямой угол — получаем луч OT, перпендикулярный лучу OA. Затем делим этот угол пополам биссектрисой.

1Дан луч с началом в O.
2Строим прямой угол: луч OT перпендикулярен исходному.
3Дугой с центром O ставим точки P и Q на обеих сторонах прямого угла.
4Равными дугами из P и Q находим точку B на биссектрисе.
5Луч OB делит прямой угол пополам — это угол 45°.
9

Угол 120° (два раза по 60°)

Дано: луч с началом O.
Построить: угол 120°.

Идея. 120° = 60° + 60°. На одной и той же дуге радиуса R откладываем R два раза подряд — получаем две «вершины шестиугольника».

1Дан луч с началом в O.
2Дугой с центром O радиуса R получаем точку A на луче.
3Тем же радиусом из A делаем засечку на дуге — вторая вершина B.
4Тем же радиусом из B — третья вершина C.
5Луч OC образует с исходным угол 120°.

Бонус 120° — это внутренний угол правильного шестиугольника. А биссектриса угла 120° даёт 60° — круг замкнулся.

✱

Какие углы можно получить «бесплатно»?

Или: дан угол X° — можно ли построить угол Y°?

Два рабочих приёма у нас уже есть:

  • Сложение. Два угла можно перенести и приложить друг к другу: 60° + 60° = 120°, 45° + 30° = 75°.
  • Деление пополам. Биссектриса делит угол на 2: 60° → 30° → 15° → 7,5°… Деление на три или пять — уже нет (это доказывается в высшей алгебре).

Из этих двух приёмов вырастает простое правило:

Если угол X° уже построен, то бесплатно получаются X/2, X/4, X/8… и любые суммы и разности уже построенных. А вот X/3 из X в общем случае получить нельзя — именно поэтому 18° из 54° не получается одними биссектрисами.

Примеры.

  • Дан 60° — можно ли построить 15°? Да. Две биссектрисы: 60° → 30° → 15°.
  • Дан 90° — можно ли построить 22,5°? Да. Три биссектрисы: 90° → 45° → 22,5°.
  • Дан 60° — можно ли построить 75°? Да. 75° = 60° + 15° (15° — биссектриса биссектрисы 60°). Или проще: 75° = 45° + 30°.
  • Дан 54° — можно ли построить 18°? Нет — из одного только угла 54° это не получить, потому что это требует деление на 3 (54° / 3 = 18°). Но если разрешено брать «из воздуха» любые уже построенные углы — 18° можно получить из правильного десятиугольника (это уже «продвинутая» олимпиадная история).
  • Дан 60° — можно ли построить 20°? Нет. Это знаменитая задача о трисекции угла: разделить угол 60° на три равные части циркулем и линейкой невозможно — это доказано в 1837 году.
10

Перенести угол на новый луч

Дано: угол с вершиной O и луч с началом O′.
Построить: на новом луче угол, равный данному.

Идея. Чтобы перенести угол, переносим «заготовку» — две дуги одного радиуса. Расстояние между точками пересечения дуги со сторонами угла однозначно задаёт угол.

1Заданы угол при вершине O и луч с началом O′.
2Дугой с центром в O получаем точки P и Q на сторонах угла.
3Той же дугой с центром в O′ получаем точку P′ на новом луче.
4Раствором, равным PQ, из P′ откладываем дугу — пересечение даёт Q′.
5Луч O′Q′ образует с лучом нужный угол.
Раздел 3

Построение треугольников

Чтобы однозначно построить треугольник, нужно знать о нём ровно три «правильных» элемента. Это перекликается с признаками равенства треугольников.

11

По трём сторонам (SSS)

Дано: длины трёх сторон AB, BC, AC.
Построить: треугольник ABC.

Идея. Третья вершина — точка, удалённая от A на длину AC и от B на длину BC. Это пересечение двух окружностей.

1Откладываем сторону AB.
2Окружность с центром A радиусом AC.
3Окружность с центром B радиусом BC.
4Точка пересечения — третья вершина C.
5Соединяем A–C и B–C.

Условие существования Любая сторона должна быть меньше суммы двух других — это неравенство треугольника.

12

По двум сторонам и углу между ними (SAS)

Дано: длины AB, AC и угол A.
Построить: треугольник ABC.

Идея. При вершине A строим заданный угол. На одной стороне откладываем AB, на другой — AC.

1Откладываем сторону AB.
2При вершине A строим заданный угол.
3На второй стороне угла откладываем AC.
4Соединяем B и C.
13

По стороне и двум прилежащим углам (ASA)

Дано: сторона AB и углы при A и B.
Построить: треугольник ABC.

Идея. Откладываем оба угла на сторону AB, лучи пересекутся в третьей вершине.

1Откладываем сторону AB.
2При A строим заданный угол и проводим луч.
3При B строим второй заданный угол и проводим луч.
4Точка пересечения лучей — вершина C.

Условие существования Сумма двух углов должна быть меньше 180°.

14

Равносторонний треугольник

Дано: длина стороны.
Построить: равносторонний треугольник.

Идея. Это первая задача из «Начал» Евклида. Частный случай построения треугольника по трём сторонам, когда все стороны равны.

1Откладываем сторону AB.
2Окружность с центром A радиусом AB.
3Окружность с центром B радиусом AB.
4Точка пересечения — вершина C.
5Соединяем стороны — все они равны.
Тренажёр

Проверь себя

15 задач разных типов с проверкой и пояснениями. Старайся сначала подумать, а потом нажимай на ответ.

Задача 1 из 12
0 верно
Готово

Тренажёр пройден

0 / 15